Density of states(Density of levels)를 구하기 위해서 state의 수를 구해야 하는데, 이 과정에서 다음과 같은 관계식이 있습니다.
처음 식은 이해가 쉽게 됩니다. 모든 reciprocal vector에 대해 state의 개수를 더해주면 되지요. 그런데 두 번째 식은 조금 어색하게 보여질 수 있습니다. 일단 k과 충분히 촘촘하다고 생각해서 적분식으로 바꿉니다. 이 과정에서 3차원이니까 L/2pi를 세 번 곱해줍니다. (Omega는 L의 세제곱입니다.) 맨 앞의 2는 spin항이고, 나머지 항은 change of variable입니다.
다른 건 다 어렵지 않고, change of variable이 그나마 좀 까다롭습니다. 그런데 이건 다음 식으로 유도 가능합니다[2].
Free electron model에 한정해서 이야기해보면, 다음과 같이 접근할 수도 있습니다.
일단 energy를 모두
형태로 바꿉니다. 그러면 다음과 같은 delta function의 성질을 이용해서 간략화할 수 있습니다.
관계식이 참이라는 것은 숙제로 남겨두고, 덤으로 이 식도 필요합니다.
위의 식들을 이용하면 값을 구할 수 있습니다.
사실 맨 위의 식을 알면 굳이 할 것도 없는 귀찮은 방법이긴 한데, 예전에 저렇게 풀었던 기억이 나서 적어봅니다.
차원에 따라 다른 값이 나오는데, 이건 dk에 어떤 값을 넣어주느냐에 따라 다릅니다. 이건 고체 공부하실 때 많이들 하셨고, 하시리라 생각합니다. (지겨운 문제 중에 하나죠.)
[1] Bransden and Joachain. Quantum Mechanics 2nd ed.
[2] Neil W. Ashcroft and N. David Mermin. Solid State Physics
덧글
<img src="express.gif"> 를
<table bgcolor=white><tr><td><img src="express.gif"></td></tr></table> 로
바꾸면 좋을 듯 합니다.